Bir Sayı Tut… kozalaklardan ayçiçeklerine, bahçe düzenlemelerinden şifreli mesajlara doğada ve günlük yaşantımızda önemli bir yeri olan sayıların ilginç dünyasını tanıtıyor. Kolay anlaşılır bir dille kaleme alınan kitapta ünlü matematikçileri bile şaşırtan problemlerin yanı sıra fraktallar ve kaos gibi üzerinde tartışılan konulara da yer veriliyor.
Önsöz
1961 baharında bir sabah kendimi Oxford’daki Magdelen College’nin yazlık oturma odasında, gerçekten etkileyici bir meşe masada otururken buldum; araştırma asistanlığı sınavlarının sözlü bölümünde, araştırma!arımı öğretim üyelerine karşı savunuyordum. Matematiğe bir ölçüde yatkın bir fizikçi olduğum için soruların çoğu orada bulunan bilimcilerden ve matematikçilerden geliyordu. Sorular bir süre, “Green fonksiyonları” olarak bilinen, biraz da gizemli havalan olan matematiksel nesneler üzerine yoğunlaştı. Bunlar o zamanlar benim kendi teorik araştırma alanımda çok modaydı; ancak uzman olmayanlar için bilimciler de dahil pek fazla bir şey ifade etmiyorlardı. Doğrusunu söylemek gerekirse, o günkü bilimcilerin çoğu bu fonksiyonları belki de hiç duymamışlardı. Ancak o ara onlar benim için önemliydiler, ben de sorulan başarıyla göğüslediğim kanısındayım.
Artık soru sorma sırası salondaki dinleyicilere gelmişti (ben de kendimi biraz daha güvende hissetmeye başlamıştım). Salondakilerin çoğu kendi alanlarında ünlü kişilerdi ancak bu alanlar bilimin dışındaydı; büyük olasılıkla da geçen kırk dakikalık matematik sohbeti boyunca uyanık kalmak için çok çabalamışlardı. Bunlardan birisi, görkemli akademik giysiler içinde bir üye, etkileyici bir bakışla bana bakarak ayağa kalktı. Anlaşılan, kendisi için (ve herhalde orada bulunanların çoğu için) kavranması mümkün olmayan bu söyleşiden sıkılmıştı. Beni bugün bile huzursuz eden şu soruyu sordu: “Şu çok söz ettiğiniz Green fonksiyonlarına dönelim; bunlardan birini bir Ortaçağ tarihçisine nasıl açıklarsınız?” Soruyu bugün bile her sözcüğüyle anımsadığım halde yanıtımın ne olduğu hakkında hiçbir şey hatırlamıyor olmam yanıtımın niteliği konusunda iyi bir fikir verebilir.
Birkaç yıl sonra, ABD’nin New Jersey eyaletindeki Belle Araştırma Laboratuvarında katı durum fizikçisi olarak çalışmaya başladım. Bu bilgisayar devrimi dönemiydi. Şirket birkaç yılda bir, daha büyük ve daha hızlı “sayıöğütücü” satın alarak daha az düşünüp daha çok işlem yapmayı giderek kolaylaştırıyordu. Ancak arada bir, denklemlerin kesin çözümünün (veya matematikçilerin deyişiyle analitik çözümün) var olduğunu hissettiğim bir matematiksel problem söz konusu olduğunda, bilgisayardaki sayısal çözüme bakmaya direnip, daha yaşlı bir meslektaşıma, düşünmeyi önlemenin bu kadar kolay olmadığı dönemlerde bilimsel olgunluğa ulaşma şansına erişmiş, nazik bir meslektaşın ofisine giderdim. “Bu denklemlerin analitik çözümü olduğundan eminim; ima bulamıyorum. Aptallık mı ediyorum?” derdim. Çoğu s.ez anlayışlı bir şekilde yarı gülümseyerek “Belki biraz.” diye yanıtlar; sonra beni nazik bir biçimde gereken çözümlere doğru yöneltirdi.
1980 yazında bir Öğleden sonra, böyle bir ziyarete gittiğimde onu olağanüstü heyecanlı buldum. Ayağa fırladı ve daha ben alışılmış sorumu soramadan elime bazı kâğıtlar tutuşturdu. “Bunu oku,” dedi, “şimdiye kadar gördüğüm en ilginç çalışmalardan biri; harikulade derin, ama zarif biçimde basit.” Onun amaçlamadığı sonucu dile getirmekten kendimi alıkoydum; o kadar basitti ki ben (ya da bir Ortaçağ tarihçisi diyebilir miyim?) bile ana hatlarını anlayabilirdim. Gerçekte bu, elinizdeki kitabı okumayı sürdürmeye karar verirseniz, ileride ele alacağımız, kaosun başlangıcı teorisi konusunda yapılmış ilk çalışmalardan biriydi.
O sıralar, ben ve eşim, bizden birkaç ev uzakta oturan genç bir çiftle ayda bir kez görüşür, konuşurduk. Adam inşaat işlerinde çalışıyordu, kadın ise ev hanımıydı; yanzamanlı olarak da moda evlerinin giysilerinin dağıtım işinde çalışıyordu. Akşamlarımız hep dinlendirici olur hoşça vakit geçirirdik, sohbetler pek akademik sayılmazdı. Hatta vaktimizin çoğunu Makjonng (1920 lerde çok revaçta olduğu söylenen çini parçalarla oynanan bir Çin oyunu) oynamakla, son görüşmemizden beri dağarcığımızda birikmiş fıkra ve deneyimleri anlatmakla geçirirdik. Derken bir akşam, konuşmanın akışı içinde, ev sahibesi beni şaşırtan şu sözleri söyledi: “Sayılar hakkında bir kitap yazmayı düşündüğünü duydum. Fibonacciler hakkında da bir şeyler söyleyecek misin?”
Geçmişteki bu “söz şip şaklarını anlatmaktaki amacım hiç kuşkusuz, bazı tarihçilerin Green fonksiyonları konusunda bilgi edinmek için gizlice yanıp tutuştuklarını, ya da kaotik hareketin yeni ve büyüleyici alanının, ona tümüyle yabancı olan kişilerce bütün ayrıntılarıyla anlaşılabilir olduğunu öne sürmek değil. Ancak üç farklı noktayı vurgulamak istiyorum. Birincisi, bilimin herhangi bir yönünü (ve evet, hatta matematiği) anladığını söyleyen ve ondan coşku duyan bir kimse, bu bilginin özünü ve heyecanını, normal ölçüde zekâsı olan, ilgi duyan, sıradan kişilere aktarabilmelidir. İkincisi, bu türden heyecan verici gelişmelerin çoğunun böyle bir açıklamaya elverişli olduğudur.
Son ve belki en önemli olarak da “oralarda bir yerde” herkesin düşündüğünden çok daha geniş bir ilgi potansiyeli olabileceğidir: Tabii, eğer yazarlar bilim dergilerinin çetrefil uzman dili ile toplumun normal konuşma dili arasındaki dil uçurumunu birleştirici bir köprü kurmak için ciddi bir çaba gösterirlerse… işte bu kitap, böyle bir eğilimi yüreklendirmeyi amaçlayan alçakgönüllü bir çabadan ibaret.
Malcolm E. Lines
Ağustos 1989
Giriş
Çağlar boyu, insanoğlunun saymaya ve ölçmeye karsı ilk kez İlgi duymasından bu yana, “sayı” kavramı insanı büyüleyen, ama bazen de ona işkence eden bir gelişme sergilemiştir. Bildiğimiz 1, 2, 3 sayılan hakkındaki en basit kavramlarla başlayıp, negatif sayılara, kesirlere, ondalıklara ve daha da ötesine uzanan “sayının en genel anlamıyla ne ifade etmesi gerektiği konusundaki temel anlayış sürekli genişlemiştir. Buna paralel olarak, bu sayısal kavramların alışılmadık ve harikulade özellikleri hakkında acımasızca artan bir dizi büyüleyici soru ve spekülasyon ortaya çıkmış; bunlarla ilgili problemlerin bazıları kısa sürede, dönemin uzmanlarım hoşnut edecek biçimde “temizlenmiştir”. Bazıları içinse daha uzun süreli çaba gerekmiştir; bazen onlarca, bazen yüzlerce yıl süren çabalar… Birkaçı da, inatla, yaşamayı sürdürmekte ve dünyanın en ünlü matematikçilerini (son dönemlerdeki işbirlikçileri olan elektronik dijital bilgisayarların yardımı ile veya onlarsız) şaşırtmaya, onların yaratıcılığını ve zihinsel dengesini sınamaya devam etmektedirler.
Bu kitabın konusu, başlığından da anlaşılacağı gibi, bir anlamda sayılardır. Ancak kitap, sayıl an n özellikleriyle ilgili olmaktan çok (bu, daha önce yayınladığım, A Number for Your Thoıtghts adlı kitapta ele alınmıştır) sayıların “doğa” ile, çok genel bir anlamda, karşılıklı etkileşimi konusuyla ilgilidir. Örneklerin bir bölümü, en azından ilk bakışta daha hafif mizaçlı gibi görünebilirler; dolu fırtınaları, taksiler, teras dekorasyonu, çam kozalakları, bisiklet fabrikaları ve boya kitaplarıyla ilgili olanlar gibi (isterseniz sayılar eğlencede diyebilirsiniz). Diğer bazıları daha ağırlıklı görünen konularla; gizli şifreler ve ulusal güvenlik, simetri ve atom fiziği, meteoroloji, uzayın, dördüncü (hatta 3,5’nci) boyutta bükülmesi ve bilgi ağı sistemleri gibi konularla ilgilidirler. Bu örneklerde, sayılarla gerçek dünya sorunları arasındaki etkileşimin daha önemli sonuçları olduğu görünümü var; yani bir anlamda işe daha yakın bir şey. Gerçekten de, bir ara kitaba İşte ve Oyunda Sayılar başlığını vermeyi düşündüm. Ancak okul öncesi çocuklar için yazılan elementler bir aritmetik kitabım çağrıştırdığı, ama hiç de öyle olmadığı için vazgeçtim. Bu kitapta anlatılan her öykü, benim deyişimle, sayıyı iş yaparken veya oyun sırasında betiralese de (eğlendirici olduğunu umduğum bir biçimde) çoğu kez çok önemli sonuçlan olan, çok derin matematiksel kavramlar içeren problemler hakkında bir kavrayışa yol açmaktadır. Birçoğu, gelişmesi yüzyıllar alan fikirleri izliyor, diğer bazıları çok yakın dönemde ortaya çıkmışlardır. Bazıları artık tam olarak çözülmüşlerdir, diğer bazıları gelişimlerinin henüz başlangıcındadırlar. Bazıları gizlerini açıklamak için günümüzün en güçlü “sayı öğütücü” bilgisayarlarına gerek duymuşlar, bazıları da kuramsal düşüncenin esinli bir anına testim olmuşlardır.
Birçok yerde öykülerimiz bizi, günümüz araştırmalarının “sivri ucuna” getirse de onları anlamamız fazla matematik gerektirmiyor. Gerçekte lisenin ilk yılındaki cebirin yarısını anımsayan bir kimse bu giriş bölümünün gerisini atlayarak doğrudan II. Bölüm’deki “Fibonacci Destanı”na geçebilir. Bunun dışında olanlar için, metinde açıklanmayan bazı sözcüklerin anlamlarını tekrarlamak, bu sözcükler yakın dönemlerdeki matematiksel sohbetlerinizin düzenli bir parçası olsunlar veya olmasınlar, iyi bir fikir olabilir.
İlk olarak, sayma sayılarına (yani 1, 2, 3, 4 vb. sayılara) tam sayı denilir. Yalnızca 1 ve kendileri ile tam olarak (yani kalan bırakmadan) bölünebilen tamsayılara asal sayılar denilir. Örnek olarak 3,11 veya 29’u verebiliriz. Bunların dışında kalan bütün tamsayılara bileşik diyoruz. Bu demek oluyor İd, bütün bileşik sayılar kendilerinden daha küçük tamsayıların çarpımlarından elde edilebilirler; örneğin 32 = 4 x 8. Daha küçük olan bu tamsayılara, büyük sayının çarpanları denilir. Bunlar arasında daha özel olan çarpanlar bulunur; asal çarpanlar. Yukardaki örnekte verilen 4 ve 8’in her ikisi de asal olmadığından onların her biri tekrar “çarpanlara ayrılabilir” (ve belki de tekrar tekrar) ve bu, sadece asal çarpanlar kalana kadar sürdürülebilir. Bileşik sayı olan 32 için işlem
32 = 2x2x2x2x2
ifadesine varana kadar sürdürülmüştür. Bu beş tane iki, 32 nin asal çarpanlarıdır. Asal çarpanlar özeldir; çünkü her bileşik sayı için bir tane ve sadece bir tane asal çarpanlar takımı vardır. Bu nedenle asal sayılar, bütün Öteki sayıların çarpım yoluyla elde edildiği atomlardır (veya en küçük parçalar). Bütün tamsayıların asal çarpanların bir çarpımı olduğunu söyleriz. Bu nedenle çarpım, çarpma işleminin sonucu demek oluyor. Otuz iki, hem 8 ve 4’ün, hem de beş tane ikinin çarpımıdır. Toplama işlemi için buna eşdeğer olan terim toplamdır; 32’nin 28 ve 4’ün toplamı olduğu gibi.
Yukarıdaki denklemlerde dikkatimizi çeken bir başka şey de sağ taraftaki bütün o ikilerin pek hoş görünmediğidir. Ayrıca bileşik sayı, beş tane iki yerine 50 tane iki gerektirirse başımız dertte olabilir. Bunu halletmek için matematik bir çeşit kısayazış icadetmiştir. Bunu kullanarak yukardaki denklem
32 = 2
şeklinde yazılabilir. Bu yazış biçimindeki üst takısı olan 5’e üs veya kuvvet denilir ve Bize kaç tane ikiyi birbiriyle çarpacağınızı söyler. Başka bir ömek de
8 = 2″
olabilir. 32 ile 8’in çarpımım yaparak (yani 32 x 8 286) ve sonucu 266 = 2 şeklinde çarpanlara ayırarak şunu yazabiliriz…
